name: Полнота и редуцированность для ассоциативных артиновых колец
keyword_list: кольцо, ассоциативное, артиново, полное, редуцированное, радикал, полный радикал
abstract: Изучены понятия полноты и редуцированности в классе ассоциативных артиновых (слева) колец. Полным называется кольцо, не имеющее гомоморфизмов на ненулевые кольца из атомов решетки многообразий ассоциативных колец Z_p и F_p по всем простым p. Кольцо без ненулевых полных подколец называется редуцированным. Определены: Z-полное (F-полное) кольцо как кольцо, не имеющее гомоморфизмов на атомы Z_p (соответственно F_p) по всем простым p, а также Z- и F-полные радикалы кольца как его наибольшее Z-полное (или F-полное) подкольцо соответственно. Охарактеризованы полные артиновы кольца, в частности полные конечные кольца (проблема 7 в проблематике Л.М. Мартынова, 2000 г.). Артиново кольцо R является полным тогда и только тогда, когда для его идеала R² выполняются условия: он является идемпотентным артиновым кольцом и, если он не является нулевым, то фактор-кольцо R²/J(R²), изоморфное прямой конечной сумме колец матриц над некоторыми телами, не содержит слагаемых, изоморфных простым конечным полям; если R² не равен R, то R/R² есть кольцо с нулевым умножением, аддитивная группа которого - прямая конечная сумма квазициклических групп по некоторым простым p. Конечное ненулевое кольцо R является полным тогда и только тогда, когда R = R², а R/J(R) изоморфно прямой конечной сумме колец матриц над конечными полями и не содержит слагаемых, являющихся простым конечным полем. Охарактеризованы редуцированные артиновы кольца (проблема 8). Артиново кольцо R является редуцированным тогда и только тогда, когда оно конечное с F-полным радикалом, совпадающим с радикалом Джекобсона и либо R = J(R), либо R/J(R) изморфно прямой конечной сумме простых конечных полей. Описаны с точностью до изоморфизма все минимально полные ассоциативные артиновы кольца (проблема 10). Минимально полным называется ненулевое полное кольцо, в котором нет ненулевых полных подколец. Артиново кольцо является минимально полным тогда и только тогда, когда оно изоморфно одному из следующих колец: кольцу с нулевым умножением, аддитивная группа которого есть квазициклическая группа для некоторого простого p; полю рациональных чисел; конечному кольцу Галуа порядка p в степени nq и характеристике p в степени n, где числа p и q простые. Найден критерий полноты полугруппового кольца, в частности артинова группового кольца. Согласно ему, для кольца R с единицей и полугруппы S справедливы следующие утверждения: если аддитивная группа кольца R полная, то полугрупповое кольцо RS является полным кольцом; иначе полугрупповое кольцо RS будет полным тогда и только тогда, когда кольцо R - полное и S² = S. Из критерия следует, что групповое кольцо RG над артиновым кольцом R с единицей и конечной группой G будет полным тогда и только тогда, когда кольцо R полное. Описан полный радикал кольца всех матриц некоторого порядка n > 1 над любым ассоциативным кольцом, и определен критерий полноты такого кольца над артиновым кольцом. Полный радикал кольца всех матриц некоторого порядка n > 1 над кольцом R совпадает с подкольцом всех его матриц с элементами из Z-полного радикала кольца R. Артиново кольцо, изоморфное кольцу всех матриц некоторого порядка n > 1 над артиновым кольцом R, является полным тогда и только тогда, когда кольцо всех матриц того же порядка над R/R² является полным. Доказано, что любое конечное кольцо вложимо в полное конечное кольцо (проблема 9). Доказаны утверждение о расщепляемости коммутативного артинова кольца без квазициклических аддитивных подгрупп и критерий расщепляемости артинова слева кольца с правой единицей. Кольцо называется расщепляемым, если полный радикал в нем выделяется прямым слагаемым. Коммутативное артиново кольцо, аддитивная группа которого не содержит квазициклических подгрупп, является расщепляемым. Расщепляемость артинова слева кольца R с правой единицей e эквивалентна расщепляемости его подкольца eR, что выполняется в точности тогда, когда полный радикал подкольца eR является кольцом с единицей. Изложены результаты, имеющие самостоятельное значение для класса артиновых колец: например, критерий конечности артинова кольца и критерий существования правой единицы в артиновом слева кольце.
chairman_dissertation_council.surname: Махнев А.А.
chairman_dissertation_council.position: Главный научный сотрудник
chairman_dissertation_council.degree: Доктор физико-математических наук
organization_supervisor.surname: Лукоянов Н. Ю.
organization_supervisor.position: Директор
organization_supervisor.degree: Доктор физико-математических наук
rubrics.code: 27.17.19
rubrics.name: Кольца и модули
oecds.code: 01.01.00
oecds.name: Mathematics
speciality_codes.name: Математическая логика, алгебра и теория чисел
speciality_codes.code: 01.01.06
supervisors.fio: Мартынов Л.М.
supervisors.scientific_degree: Доктор физико-математических наук
supervisors.speciality_code: Математическая логика, алгебра и теория чисел
supervisors.responsible_type: Научный руководитель
opponents.fio: Мальцев Ю.Н.
opponents.scientific_degree: Доктор физико-математических наук
opponents.speciality_code: Математическая логика, алгебра и теория чисел
opponents.responsible_type: Оппонент
opponents.fio: Коробков С.С.
opponents.scientific_degree: Кандидат физико-математических наук
opponents.speciality_code: Математическая логика, алгебра и теория чисел
opponents.responsible_type: Оппонент
protection_organization.short_name: ИММ УрО РАН
protection_organization.name: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук
protection_organization.ogrn: 1026604965177
protection_organization.organization_type: Организация
protection_organization.okogu: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
protection_organization.okopf: Федеральные государственные бюджетные учреждения
author_organization.short_name: ФГБОУ ВО "ОмГПУ"
author_organization.name: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего  образования "Омский государственный педагогический университет"
author_organization.ogrn: 1025500758073
author_organization.organization_type: Организация
author_organization.okogu: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
author_organization.okopf: Федеральные государственные бюджетные учреждения