name: Восстановление решений с различными типами особенностей линейных некорректных задач
keyword_list: дискретная аппроксимация классическая вариация обобщенная вариация разрывное решение метод регуляризации Тихонова некорректно поставленная задача
abstract: Некорректно поставленные задачи возникают во многих фундаментальных и прикладных исследованиях. Типичной чертой этих задач является неустойчивость решения к возмущению исходных данных, что приводит к существенной трудности при их численном решении традиционными методами.
  В традиционном однокомпонентном случае для восстановления разрывного решения использовался метод регуляризации Тихонова со стабилизатором, содержащим классическую или обобщенную вариацию функции, см., например, работы А. Л. Агеева, А. С. Леонова, В. В. Васина для функции одной переменной, а в работах R.  Acar и C. R. Vogel, А. С. Леонова, В. В. Васина  для функций многих переменных.
  Для восстановления гладких (дифференцируемых) решений некорректных задач хорошо зарекомендовали себя вариационные методы, включая метод Тихонова, в которых в качестве стабилизирующего функционала используется норма пространства W_n^2.
  При численном решении некорректной задачи, когда в искомой функции гладкие участки перемежаются с разрывными, возникает проблема построения стабилизатора в тихоновской регуляризации, поскольку традиционные квадратичные функционалы заглаживают тонкую структуру (разрывы, близкие экстремумы). Поэтому в приложениях возникла идея устойчивого восстановления решения некорректной задачи в виде суммы нескольких компонент. Как правило, ограничиваются представлением решения в виде двух слагаемых u=u_1+u_2 , первое из которых соответствует гладкой компоненте, а второе - разрывной компоненте решения. В соответствии с этой априорной информацией стабилизирующий функционал строится в виде суммы двух функционалов Ω(u)=Ω_1 (u_1 )+Ω_2 (u_2), каждый из которых зависит только от одной из компонент и учитывает их априорные свойства. Такой подход используется в прикладных исследованиях, например, при обработке зашумленных сигналов с гладкой и разрывной компонентами решения, как правило, без обоснования алгоритмов решения.
  По-видимому, впервые теоретическое обоснование сходимости метода Тихонова для двух- и трехкомпонентного подхода было выполнено в работах В. В. Васина, в которых, в частности, для компоненты с разрывом производной (изломом) использовался стабилизатор в форме нормы пространства Липшица. 
  В некоторых некорректно поставленных задачах из физического смысла вытекает, что наряду гладкой с и разрывной компонентами решения можно ожидать наличие изломов, допускающих разрывы производных. В этой ситуации естественно выделить еще одну компоненту u_3 в решении и добавить в стабилизатор еще один функционал Ω_3 (u_3 ), который можно использовать в различных сочетаниях с функционалами Ω_1 (u_1 ), Ω_2 (u_2 ). 
  В работе рассмотрен модифицированный метод регуляризации Тихонова при условии, что решение линейного операторного уравнения представимо в виде суммы двух компонент с различными свойствами гладкости.
  В первой главе рассмотрена двухкомпонентная модификация метода Тихонова в одномерном случае для двух постановок: первая -- решение содержит разрывы и изломы, вторая -- решение содержит разрывы и гладкий фон. Доказаны теоремы о существовании нормального решения, сходимости приближенных решений.
  Во второй главе рассмотрена двухкомпонентная модификация метода Тихонова в многомерном случае сначала при фиксированном параметре сглаживания обобщенной вариации β, затем при стремлении этого параметра сглаживания к нулю. Доказаны теоремы о существовании нормального решения, сходимости регуляризующих алгоритмов, сходимости дискретных аппроксимаций регуляризованных компонент.
  В третьей главе представлены результаты численных экспериментов для одномерного и двумерного случаев. В одномерном случае рассмотрены три постановки: решение содержит разрывы и гладкий фон; решение содержит разрывы и изломы; решение содержит разрывы, изломы и гладкий фон. В двумерном случае решение содержит разрывы и гладкий фон.
  Рассматриваемые в работе подходы с конструированием различных стабилизирующих функционалов для восстановления тех или иных особенностей решения, являются этапами отыскания алгоритма, позволяющего восстанавливать различные особенности одновременно.
chairman_dissertation_council.name: Виталий
chairman_dissertation_council.surname: Бердышев
chairman_dissertation_council.patronymic: Иванович
chairman_dissertation_council.position: Главный научный сотрудник
chairman_dissertation_council.degree: Доктор физико-математических наук
chairman_dissertation_council.rank: Академик
chairman_dissertation_council.wos_research_id: Q-1761-2017
chairman_dissertation_council.scopus_author_id: 55980665600
chairman_dissertation_council.rinc_id: 3668
chairman_dissertation_council.url: http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=19721
chairman_dissertation_council.orcid: 0000-0001-8057-5397
chairman_dissertation_council.territory: РОССИЯ
organization_supervisor.name: Николай
organization_supervisor.surname: Лукоянов
organization_supervisor.patronymic: Юрьевич
organization_supervisor.position: Директор
organization_supervisor.territory: РОССИЯ
rubrics.code: 27.41.19
rubrics.name: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
rubrics.code: 27.33.15
rubrics.name: Линейные интегральные уравнения
rubrics.code: 27.39.19
rubrics.name: Линейные операторы и операторные уравнения
oecds.code: 01.01.PQ
oecds.name: MATHEMATICS
speciality_codes.name: Вычислительная математика
speciality_codes.code: 01.01.07
supervisors.fio: Васин В.В.
supervisors.scientific_degree: Доктор физико-математических наук
supervisors.speciality_code: Вычислительная математика
supervisors.responsible_type: Научный руководитель
opponents.fio: Леонов А.С.
opponents.scientific_degree: Доктор физико-математических наук
opponents.speciality_code: Вычислительная математика
opponents.responsible_type: Оппонент
opponents.fio: Танана В.П.
opponents.scientific_degree: Доктор физико-математических наук
opponents.speciality_code: Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
opponents.responsible_type: Оппонент
protection_organization.short_name: ИММ УРО РАН
protection_organization.name: ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.Н. КРАСОВСКОГО УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
protection_organization.ogrn: 1026604965177
protection_organization.supervisor_name: НИКОЛАЙ
protection_organization.supervisor_surname: ЛУКОЯНОВ
protection_organization.supervisor_patronymic: ЮРЬЕВИЧ
protection_organization.organization_type: Организация
protection_organization.okogu: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
protection_organization.okopf: Федеральные государственные бюджетные учреждения
author_organization.short_name: ИММ УРО РАН
author_organization.name: ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.Н. КРАСОВСКОГО УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
author_organization.ogrn: 1026604965177
author_organization.supervisor_name: НИКОЛАЙ
author_organization.supervisor_surname: ЛУКОЯНОВ
author_organization.supervisor_patronymic: ЮРЬЕВИЧ
author_organization.organization_type: Организация
author_organization.okogu: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
author_organization.okopf: Федеральные государственные бюджетные учреждения