name: Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа при помощи тензорных методов
keyword_list: QTT FEM дифференциальные уравнения эллиптического типа тензорные разложения
abstract: Диссертационная работа посвящена разработке методов численного решения дифференциальных уравнений эллиптического типа на двумерной замкнутой многоугольной области с использованием Quantized Tensor Train формата (QTT-формата). Эллиптическая задача выбрана в качестве модельного примера, т. к. результаты, полученные для уравнений этого типа, легко экстраполируются на параболические дифференциальные уравнения.
  В результате данного исследования было получено два алгоритма для поиска численного решения дифференциальных уравнений эллиптического типа с использованием QTT-формата в качестве структуры для хранения коэффициентов. Данные алгоритмы имеют вычислительную сложность и сложность по памяти $O((log n)^{\alpha})$, где $\alpha\in[2,3]$, $n$ - количество узлов в дискретизации.
  Первый алгоритм на основе метода конечных элементов (МКЭ) демонстрирует экспоненциальную сходимость решения от числа степеней свободы в QTT-представлении (число степеней свободы -- количество элементов, используемых QTT-форматом для представления). Также в предложенном алгоритме ранги QTT-представления ограниченны сверху константой. В сравнении с пакетом поиска численных решений дифференциальных уравнений FEniCS разработанный алгоритм потребляет значительно меньше памяти.
  Второй алгоритм является адаптацией итерационного метода Дирихле-Дирихле для QTT-формата. А отличии от первого алгоритма данный алгоритм позволяет осуществлять поиск решения распределено на нескольких вычислительных устройствах с сохранением всех преимуществ первого алгоритма. Также для данного алгоритма реализованы векторные версии метода TT-GMRES и matvec для библиотеки TTPY.
  Для реализации этих алгоритмов введена операция z-kron для QTT-формата. Доказаны и исследованы ее основные свойства.
chairman_dissertation_council.name: Андрей
chairman_dissertation_council.surname: Райгородский
chairman_dissertation_council.patronymic: Михайлович
chairman_dissertation_council.position: главный научный сотрудник-заведующий лабораторией
chairman_dissertation_council.degree: Доктор физико-математических наук
chairman_dissertation_council.rank: Доцент
chairman_dissertation_council.wos_research_id: L-5095-2017
chairman_dissertation_council.scopus_author_id: 6603605028
chairman_dissertation_council.territory: РОССИЯ
organization_supervisor.name: Николай
organization_supervisor.surname: Кудрявцев
organization_supervisor.patronymic: Николаевич
organization_supervisor.position: ректор
organization_supervisor.degree: Доктор физико-математических наук
organization_supervisor.territory: РОССИЯ
rubrics.code: 27.41.41
rubrics.name: Алгоритмы решения задач вычислительной и дискретной математики
rubrics.code: 27.41.19
rubrics.name: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
oecds.code: 01.02.EX
oecds.name: COMPUTER SCIENCE, THEORY & METHODS
oecds.code: 01.01.PN
oecds.name: MATHEMATICS, APPLIED
speciality_codes.name: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
speciality_codes.code: 05.13.18
supervisors.fio: Оселедец
supervisors.scientific_degree: Доктор физико-математических наук
supervisors.speciality_code: Вычислительная математика
supervisors.responsible_type: Научный руководитель
opponents.fio: -
opponents.responsible_type: Оппонент
protection_organization.short_name: МФТИ
protection_organization.name: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Московский физико-технический институт (национальный исследовательский  университет)"
protection_organization.ogrn: 1027739386135
protection_organization.organization_type: Организация
protection_organization.okogu: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
protection_organization.okopf: Федеральные государственные автономные учреждения
author_organization.short_name: МФТИ
author_organization.name: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Московский физико-технический институт (национальный исследовательский  университет)"
author_organization.ogrn: 1027739386135
author_organization.organization_type: Организация
author_organization.okogu: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
author_organization.okopf: Федеральные государственные автономные учреждения